☛ ** Distance d'un point à une droite (1)

Énoncé

On considère une droite \((\text{AB})\) et un point \(\text{C}\) n'appartenant pas à la droite \((\text{AB})\).
On donne \(\text{AB}=3{,}5\), \(\text{AC} = 8{,}4\) et \(\text{BC}=9{,}1\).
1. Démontrer que \(\text{ABC}\) est un triangle rectangle.
2. Soit \(\text{H}\) le projeté orthogonal de \(\text{A}\) sur la droite \((\text{BC})\) et \(\mathcal{A}\) l'aire du triangle \(\text{ABC}\).
En calculant l'aire \(\mathcal{A}\) de deux manières différentes, déterminer la distance du point \(\text{A}\) à la droite \((\text{BC})\).

Solution

1. Dans le triangle \(\text{ABC}\),  \([\text{BC}]\) est le plus grand des trois côtés.
D'une part : \(\text{BC}^2=9{,}1^2=82{,}81\).
D'autre part : \(\text{AB}^2+\text{AC}^2=3{,}5^2+8{,}4^2=12{,}25+70{,}56=82{,}81\).
Donc \(\text{BC}^2=\text{AB}^2+\text{AC}^2\);
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(\text{ABC}\) est rectangle en \(\text{A}\).
2. Le triangle \(\text{ABC}\) est rectangle en \(\text{A}\).
Donc on a \(\mathcal{A}=\dfrac{\text{AB}\times \text{AC}}{2}=\dfrac{3{,}5\times 8{,}4}{2}=14{,}7\) unités d'aire.
\((\text{AH})\) est la hauteur issue de \(\text{A}\).
Donc on a aussi \(\mathcal{A}=\dfrac{\text{BC}\times \text{AH}}{2}=\dfrac{9{,}1\times \text{AH}}{2}\).
Donc \(\dfrac{9{,}1\times \text{AH}}{2}=14{,}7\) 
D'où \(\text{AH}=\dfrac{14{,}7\times 2}{9{,}1}=\dfrac{42}{13}\approx3{,}2\) (arrondi au dixième près).